Stehende Wellen
Bei stehenden Wellen existieren Oszillatoren, die ständig in Ruhe sind
(Knoten), alle anderen Oszillatoren zwischen zwei Knoten schwingen jeweils
in Phase mit unterschiedlichen Amplituden (Bäuche). Es gibt zwei
Möglichkeiten stehende Wellen zu erzeugen:
1. Durch Interferenz:
Werden zwei Wellen mit gleicher Wellenlänge bzw. Frequenz von zwei
gegenüber stehenden Sendern ausgesandt, so entstehen zwischen den Sendern
durch Interferenz automatisch immer stehende Wellen.
2. Durch Reflexion
a) am festen Ende
b) am freien Ende
Auf einem unendlich langen Wellenträger ergibt sich so immer eine
stehende
Welle.
Ist der Träger aber endlich und hat die Länge l
(Abstand der beiden Enden), so wird auch die reflektierte Welle wieder zurückgeworfen.
Durch die Mehrfachreflexionen können stehende Wellen hier nur bei bestimmten
Frequenzen bzw. Wellenlängen entstehen. Dazu müssen sich alle
hin- und herlaufenden Wellen gleichsinnig überlagern. In Abhängigkeit
von der Länge l
des Wellenträgers und der Art der Enden ergeben sich folgende Bedingungen:
| zwei feste Enden |
ein freies und ein festes Ende |
zwei freie Enden |
| l
= (n+1)·λ/2 |
l
= (2n+1)·λ/4 |
l
= (n+1)·λ/2 |
| λ = 2l
/ (n+1) |
λ = 4l
/ (2n+1) |
λ = 2l
/ (n+1) |
| f
= (n+1)·vPh
/ (2l) |
f
= (2n+1)·vPh
/ (4l) |
f
= (n+1)·vPh
/ (2l) |
Stehende Wellen werden oft auch als Eigenschwingungen bezeichnet, da
der ganze Träger zu schwingen scheint.
| zwei feste Enden |
ein freies und ein festes Ende |
zwei freie Enden |
|
Grundschwingung (n
= 0, l = λ/2,
f0)
|
Grundschwingung (n
= 0, l = λ/4,
f0)
|
Grundschwingung (n
= 0, l = λ/2,
f0)
|
|
1. Oberschwingung (n
= 1, l = λ,
f1
= 2f0)
|
1. Oberschwingung (n
= 1, l = 3λ/4,
f1
= 3f0)
|
1. Oberschwingung (n
= 1, l = λ,
f1 =
2f0)
|
|
2. Oberschwingung (n
= 2, l = 3λ/2,
f2
= 3f0)
|
2. Oberschwingung (n
= 2, l = 5λ/4,
f2 =
5f0)
|
2. Oberschwingung (n
= 2, l = 3λ/2,
f2 =
3f0)
|
Bei einer stehenden Welle können sich die Oszillatoren in den Knotenpunkten
nicht bewegen. Das bedeutet, dass
- die Oszillatoren in der Mitte der Bäuche auch die größte
Geschwindigkeitsamplitude haben.
Diese erreichen sie wie bei jeder anderen Schwingung auch im Nulldurchgang.
- bei einer stehenden
Longitudinalwelle an den Knotenpunkten die Extrempunkte der Druckänderung
liegen und in der Mitte der Bäuche die Druckknoten.
Die Druckmaxima werden zu den Zeitpunkten erreicht, wenn die Elongation maximal
und die Geschwindigkeit Null ist.
Eine stehende Welle unterscheidet sich also deutlich von einer fortschreitenden
Welle:
| Gegenüberstellung |
Fortschreitende Welle |
Stehende Welle |
| Entstehung |
erzwungene Schwingung im unbegrenzten System |
erzwungene Schwingung im begrenzten System |
| Räumliches Bild |
wandert mit vPh |
steht |
| Phasen |
verschieden von Oszillator zu Oszillator,
gleich im Abstand λ |
zwischen zwei Knoten gleich,
davor und dahinter Phasensprung um π |
| Amplitude |
gleich |
verschieden von Oszillator zu Oszillator,
gleich im Abstand λ/2 |
| Energie |
wird transportiert |
wird in den Bäuchen gespeichert |