Der lineare Potenzialtopf

Das Elektron

• ist in einem eindimensionalen Behälter der Länge a eingeschlossen.
• hat eine Geschwindigkeit v > 0 , denn:
  Wäre v = 0, dann wäre p = m · v = 0 und damit auch die Unschärfe Δp = 0 .
  Dies wäre ein Widerspruch zur Heisenbergschen Unschärferelation Δp · Δx ≥ h (mit der Ortsunschärfe Δx = a).
• erfährt keine Kraft und seine potenzielle Energie ist 0.
• kann nicht in die Wände eindringen und den Behälter nicht verlassen.

In diesem Potenzialtopf soll sich eine stehende Welle ausbilden. Betrachten wir die dazugehörige Wellenfunktion ψ.
Nach Born ist die Wahrscheinlichkeit P, das Elektron in einem Volumenelement ΔV zu finden, P = lψl²ΔV.
lψl² gibt also die Wahrscheinlichkeitsdichte P/ΔV an. Diese ist in der Behältniswand und außerhalb des Behälters 0. Die Wellenfunktion ψ muss an den Rändern (x = 0 und x = a) somit den Wert 0 haben.

mögliche Wellenfunktionen	Wahrscheinlichkeitsdichte
usw.

Bedingung für eine stehende Welle: n · λ/2 = a      (n = 1, 2, 3, ...)      →     λ = 2a / n

Für die DeBroglie-Wellenlänge gilt: λ = h / p = h / (m_e · v)

Gleichsetzen liefert:      2a / n = h / (m_e · v)      →     v = n · h / (2a · m_e)

Gesamtenergie des Elektrons: E_ges = E_pot + E_kin = 0 + ½ · m_e · v² = ½ · m_e · n² · h² / (4a² · m_e²)

→     E_ges = n² · h² / (8a² · m_e)

Damit ergibt sich durch die Bedingung für stehende Wellen automatisch eine Quantelung der Energie:

Der dreidimensionale Potenzialtopf

Für den dreidimensionalen Potenzialtopf ergibt sich E_ges = (n_x² + n_y² + n_z²)· h² / (8a² · m_e), d.h. man erhält automatisch drei Quantenzahlen. Daraus ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilungen: