Harmonische Schwingungen: Das Federpendel

Feder(schwere)pendel

Ein Federpendel wird aus der Nulllage nach unten ausgelenkt.
Die dabei zugeführte Energie ist als Spannenergie (potenzielle Energie) in der Feder gespeichert.

Das Pendel wird losgelassen. Das Zusammenziehen der Feder führt zu einer gedämpften mechanischen Schwingung. Wir betrachten im Folgenden den Idealfall einer ungedämpften mechanischen Schwingung (ohne Energieverluste, d.h. ohne Energieentwertung) zu den verschiedenen Zeitpunkten:

Das Federpendel ist maximal (nach unten) ausgelenkt, es erfährt eine maximale (nach oben gerichtete) rücktreibende Kraft und eine maximale Beschleunigung. Im Pendel ist die maximale potenzielle Energie gespeichert.

Die Geschwindigkeit und die kinetische Energie sind null.

Die Auslenkung des Federpendels verringert sich, es erfährt eine geringere rücktreibende Kraft und eine geringere Beschleunigung. Die potenzielle Energie sinkt.

Dabei nimmt die Geschwindigkeit zu und die kinetische Energie wächst.

Das Pendel erreicht die Nulllage, die rücktreibende Kraft, die Beschleunigung und die potenzielle Energie sind null.

Da keine weitere Beschleunigung erfolgt, sind die Geschwindigkeit und die kinetische Energie maximal.

Die Geschwindigkeit müsste ruckartig auf null sinken. Da jede Masse aber träge ist, möchte sie in ihrem momentanen Bewegungszustand verharren. Dadurch bewegt sich das Pendel über die Nulllage hinaus weiter und die Geschwindigkeit nimmt erst langsam ab

Die Auslenkung des Pendels erfolgt in die entgegengesetzte Richtung (nach oben), es erfährt eine entgegengesetzte (nach unten gerichtete) rücktreibende Kraft (Bremskraft) und eine entgegengesetzte (negative) Beschleunigung. Die potenzielle Energie wächst.

Dabei sinkt die Geschwindigkeit und die kinetische Energie wird geringer.

Das Pendel ist maximal entgegengesetzt (nach oben) ausgelenkt, es erfährt eine maximale (nach unten gerichtete) rücktreibende Kraft und eine maximale Beschleunigung. Im Pendel ist die maximale potenzielle Energie gespeichert.

Es ist kurzzeitig in Ruhe und die kinetische Energie ist null.

Nun wiederholen sich die oben beschriebenen Prozesse in entgegengesetzter Richtung, so dass nach der Zeit T/2 (also zum Zeitpunkt t = T) wieder der Ausgangszustand erreicht ist.

Herleitung der Funktionsgleichungen:

Feder(schwere)pendel

Für die Funktionsgleichungen der beteiligten Größen ergeben sich also:

Graphen für Elongation, Geschwindigkeit und Beschleunigung (bzw. Kraft) bei der harmonischen Schwingung:

Während der ungedämpften Schwingung wandeln sich potenzielle Energie und kinetische Energie
ständig ineinander um, wobei die einzelnen Energien positiv sind und die halbe Periode haben; die Gesamtenergie gleich bleibt:

Def: 

Eine Schwingung heißt harmonisch, wenn für die rücktreibende Kraft FR ein lineares Kraftgesetz gilt:

 FR = − Dy 

Die rücktreibende Kraft ist dabei stets entgegengesetzt zur Auslenkung y gerichtet. Der Proportionalitätsfaktor D wird Richtgröße genannt und hängt von der jeweiligen Schwingung ab.

Für die ungedämpfte harmonische Schwingung ergeben sich also allgemein bei beliebiger Startbedingung (d.h. einer beliebigen Phasenverschiebung φ0) folgende Bewegungsgesetze:

 
 mit
 mit

Bei einer gedämpften Schwingung nimmt die Amplitude exponentiell ab: