Der Entwurf von Schaltnetzen

  1. Schaltfunktionen:
     
    Def:     Ein Schaltterm besteht aus einer sinnvollen Kombination von Schaltvariablen, die durch die Operatoren ? ∧ (UND), ∨ (ODER) und ‾ (NICHT) verknüpft sind. Die Reihenfolge, in der die Operatoren anzuwenden sind, kann durch Klammern festgelegt werden. Eine Schaltfunktion ergibt sich, wenn einer Ausgangsvariablen ein Schaltterm zugeordnet wird.

     
  2. Die disjunktive Normalform:
     
    Def:    

    Eine Verknüpfung sämtlicher Schaltvariablen (eventuell negiert) mit dem UND-Zeichen wird Min(i)term genannt:

    mi = x1 ∧ x2 ∧ ... ∧ xn
         

    Hauptsatz der Schaltalgebra:
    Jede Schaltfunktion f (x1, x2, ... xn) lässt sich eindeutig darstellen durch einen Ausdruck disjunktiv verknüpfter Minterme, die jeweils den Wert 1 ergeben:

      f (x1, x2, ... xn) =  ∨ mi 
     f (mi)=1  
         
    Def:   Der obige Ausdruck heißt disjunkte kanonische Form (DKF). Jede DKF lässt sich vereinfachen zur disjunktiven Normalform, bei der nicht alle Variablen x1, x2, ... xn und nicht alle Minterme auftreten müssen.

     
  3. Die Gesetze der Schaltalgebra:
     
    Kommutativgesetze:     a ∧ b = b ∧ a a ∨ b = b ∨ a
    Assoziativgesetze:   (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) = a ∧ b ∧ c
    (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) = a ∨ b ∨ c
    Distributivgesetze:   a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
    a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
    Gesetze von de Morgan:  
    a ∧ b  =  a  ∨  b
    a ∨ b  =  a  ∧  b
    Absorptionsgesetz:   a ∧ ( a ∨ b) = a a ∨ ( a ∧ b) = a
    Gesetze der neutralen Elemente:   a ∧ 1 = a a ∨ 0 = a
    Gesetze der komplementären Elemente:  
    a  ∧  a  =  0
    a  ∨  a  =  1